反证法与归谬法的现代分析

2005-11-30 00:03:14 作者：杜国平 来源：自然辩证法研究 浏览次数：0 网友评论 0 条

    【内容提要】本文以现代命题逻辑为分析工具，证明了：在正命题逻辑系统的基础上，反证法的证 明能力强于归谬法，它们之间相差一个双重否定律；归谬律与不矛盾律加上充分条件否 定后件律相等价；反证律与不矛盾律、排中律、充分条件否定后件律加上选言推理否定 肯定律相等价。

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    一般认为：反证法(indirect proof)是一种间接证明的方法，而归谬法(reduction to　absurdity)是一种直接反驳的方法。但是，若仅仅从证明的角度来看，它们又都是间接证明的方法。尤其是在高度技术化的今天，反证法和归谬法是哲学分析和数学证明中常用的并且是极其重要的两种证明方法。
    那么，作为证明的方法，它们之间存在着什么样的差别呢?它们内在的逻辑依据是什么 ?本文拟以现代命题逻辑为分析工具来对有关的问题进行探讨。
    一般认为反证法的基本思路是：如要证明命题“q”，先假设反论题“并非q”，由此 推出一个与前提或假设相矛盾的或显然不成立的命题，从而就证明了“q”；归谬法的 基本思路是：如要证明命题“并非q”，先假设反论题“q”，由此推出一个与前提或假 设相矛盾的或显然不成立的命题，从而就证明了“并非q”。在现代命题逻辑的公理系 统中，刻画这两种证明方法的逻辑结构的是如下两个公式：
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    反证律和归谬律尽管在形式上非常相近，但它们的证明能力实际上是存在差异的。反 证律比归谬律的证明能力强。这可以用如下的证明来说明这一点。
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    即使在归谬律之外将推演加强到正命题逻辑系统也无法证明反证律。这可以很容易得 到证明。只需定义一个如下的语义解释：
    定义1：设Atomic(Lp)是经典命题逻辑Lp的原子公式集，Formual(Lp)是命题逻辑的公 式集。V称之为Lp的一个语义解释，当且仅当V是满足以
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    那么，反证律比归谬律的证明能力强多少呢?
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    一般认为：归谬法的逻辑依据是不矛盾律，而反证法的逻辑依据是不矛盾律和排中律 。实际上，这需要具体分析。
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    尽管归谬律的证明能力弱于反证律，但是由正
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    我们定义三值语义解释V′如下：
    定义2：设Atomic(Lp)是经典命题逻辑Lp的原子公式集，Formula(Lp)是命题逻辑的公 式集。
    V′称之为Lp的一个语义解释，当且仅当V′是满足以下条件的从Formula(Lp)到｛0，1 ，2｝上的映射，即：
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    证明6：
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    是日常推理中常用的选言推理否定肯定式。所以，也可以这样认为：在正命题逻辑系统和排中律、不矛盾律的基础上，归谬法的证明能力等价于充分条件否定后件式，而反 证法的证明能力等价于充分条件否定后件式加上选言推理否定肯定式。
    
【参考文献】
    [1]宋文坚.逻辑学[M].人民出版社，1998.86-92.
    [2]陆钟万.面向计算机科学的数理逻辑[M].科学出版社，2002.86-92.
    [3]周礼全.逻辑百科辞典[M].四川教育出版社，1994.685.
    [4]A.G.Hamilton.Logic for Mathematicians[M].清华大学出版社，2003.32-34.
    
    注：@①原字笔去毛换世

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